मसावि आणि लसावि : एक अतूट जोडी

विद्या नारायण वाडदेकर

मसावि आणि लसावि या गणितातील उपयुक्त संकल्पना आहेत. या लेखांत दिलेल्या संख्यांचे मसावि आणि लसावि कसे मिळवावेत ते दाखवताना त्यांची व्यवहारातील उपयुक्तताही विशद केली आहे.

‘मसावि’तील ‘वि’चा विस्तार विभाजक आहे, तर ‘लसावि’तील ‘वि’चा विस्तार विभाज्य आहे. या दोघांतील  फरक असा: २७ ला ३ ने भागल्यावर बाकी शून्य येते. म्हणून ३ हा २७ चा विभाजक (divisor) आहे व २७ ही संख्या ३ ने विभाज्य (mulitiple) आहे.

महत्तम सामाईक (साधारण) विभाजक : मसावि

दिलेल्या संख्यांचा मसावि काढणे म्हणजे संख्यांच्या विभाजकांची (संपूर्ण भाग देणाऱ्या संख्यांची) यादी करून त्यातील सर्वात मोठा सामाईक विभाजक शोधणे.

मसावि काढण्यासाठी बालभारतीच्या सहावीच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील एक उदाहरण इथे घेतले आहे.

‘तुमसर’ येथील तांदूळ संशोधन केंद्रात बासमती जातीचे २६१० कि.ग्रॅ. व इंद्रायणी जातीचे १९८० कि.ग्रॅ. तांदूळ बियाणे आहे. त्यांच्या जास्तीत जास्त वजनाच्या सारख्या पिशव्या विक्रीसाठी तयार करायच्या आहेत, तर प्रत्येक पिशवीचे वजन किती असेल?

तांदळाच्या जास्तीत जास्त वजनाच्या पिशव्या तयार करायच्या असल्याने इथे २६१० आणि १९८० या दोन संख्यांचा मसावि काढला पाहिजे.

हे काम वेगवेगळ्या पद्धतीनी करता येते त्यापैकी मोजक्याच इथे दिल्या आहेत. :-

पद्धत पहिली : सोपी पद्धत ( निरीक्षणाधारीत )

तुमच्याजवळ दोन संख्या आहेत, २६१० आणि १९८०. त्यापैकी लहान संख्या म्हणजे १९८० निवडा. या संख्येने  २६१० ला पूर्ण भाग जातो का पहा.

इथे पूर्ण भाग जात नाही. तर मग १९८० हून अशी लहान संख्या निवडा, जिने २६१० आणि १९८० या दोन्हीना संपूर्ण भाग जाईल. तुम्ही ९९० (१९८० च्या निम्मे), ३३० (१९८० भागिले सहा) असा संख्येचा शोध घेत जाल तेव्हा तुम्हाला ९० ही अशी संख्या सापडेल जी २६१० आणि १९८० या दोन्ही संख्यांना पूर्णपणे भागते. म्हणजे, २६१० आणि १९८० या दोन्ही संख्यांचा महत्तम सामाईक विभाजक ९० आहे. हे असे दर्शवितात: मसावि (२६१०, १९८०) = ९०. म्हणून उदाहरणात विचारलेल्या प्रश्नाचे उत्तर – दोन्ही जातीच्या तांदळाच्या जास्तीत जास्त ९० कि.ग्रॅ. वजनाच्या पिशव्या विक्रीसाठी तयार करता येतील.

ही पद्धत जर १२ आणि १८ या सारख्या दोन लहान संख्यांचा मसावि काढायचा झाला तर खरोखर सोपी आहे. पण उदाहरणात दिलेल्या संख्यांसारख्या मोठ्या संख्यांचा मसावि काढताना ही पद्धत अंदाजपंचे आंणि वेळखाऊ वाटते.

इथून पुढे फक्त २६१० आणि १९८० या दोन संख्यांचा मसावि काढण्यावर भर दिलेला आहे.

पद्धत दुसरी : मूळ अवयव पद्धत

यात, दिलेल्या दोन संख्यांतील प्रत्येक संख्येसाठी पहिल्या पायरीत मूळ अवयव शोधले जातात. दुसऱ्या पायरीत, दोन्ही संख्यांच्या मूळ अवयवांतील सामाईक अवयव शोधले जातात. शेवटच्या पायरीत, सामाईक अवयवांचा गुणाकार केला जातो, जो विचाराधीन संख्यांचा मसावि असतो.

या पद्धतीने २६१० आणि १९८० चा मसावि असा काढता येईल :-

दिलेल्या संख्यांचे मूळ अवयव

२६१० = २ × ५ × ९ × २९
१९८० = २ × २ × ५ × ९ × ११

मूळ अवयवांचे सामाईक अवयव (ठळक आणि अधोरेखित केलेत.)

२६१० = २ × ५ × ९ × २९
१९८० = २ × २ × ५ × ९ × ११

सामाईक मूळ अवयवांचा गुणाकार

२ × ५ × ९ = ९०

म्हणजे या पद्धतीनेही, मसावि (२६१०, १९८०) = ९० येतो.

पद्धत तिसरी:: युक्लिडची रीत

इ.स.पूर्व तिसऱ्या शतकात होऊन गेलेला ग्रीक गणितज्ञ, भूमितीचा पिता युक्लिड, त्याच्या ‘एलिमेंट्स’ या ग्रंथामुळे विश्वविख्यात झाला. इथे मांडलेली मसावि काढण्याची पद्धत युक्लिडला सुचली होती.

युक्लिडच्या पद्धतीत दिलेल्या दोन संख्यांपैकी प्रथम लहान संख्येने मोठ्या संख्येला भागायचे. यानंतर मिळालेल्या बाकी संख्येने (बाकी शून्य नसेल तर) आधीच्या भाजकाला (लहान संख्येला) भागायचे. बाकी संख्येने आधीच्या पायरीतील भाजकाला भागण्याची क्रिया, बाकी शून्य, म्हणजे विभाजक मिळेपर्यंत करायची. बाकी शून्य मिळालेली असताना, आधीच्या पायरीतील बाकी संख्या म्हणजेच आपले उत्तर किंवा मसावि होय.

या पद्धतीने २६१० आणि १९८० चा मसावि असा काढता येईल:

१९८० ने २६१० ला भागले तर बाकी येते ६३०. (पुढील पायरीत भाजक म्हणजे १९८० ला, मिळालेल्या बाकी संख्येने, म्हणजे ६३० ने भागायचे.)
६३० ने १९८० ला भागले तर बाकी येते ९० (पुढील टप्प्यात भाजक म्हणजे ६३० ला, मिळालेल्या बाकी संख्येने, म्हणजे ९० ने भागायचे.)
९० ने ६३० ला भागले तर बाकी येते ०. (इथे थांबा, आणि यापूर्वीच्या टप्प्यातील बाकी पहा. जी ९० आहे. हेच आपले उत्तर किंवा २६१० आणि १९८० या संख्यांचा मसावि!)

म्हणजे युक्लिडच्या रीतीनेही, मसावि (२६१०, १९८०) = ९० येतो.
ही रीत अगदी मोठ्या संख्यांसाठीही अगदी सोपी आणि वेळ वाचवणारी आहे.

गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील पद्धत ( विभाजकांची यादी पद्धत ) :-

बालभारतीच्या सहावीच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकात दिलेल्या पद्धतीनुसार जर २६१० आणि १९८० मसावि काढायचा असेल तर, दोन्ही संख्यांच्या विभाजकांची यादी करून त्यांच्यातील सर्वांत मोठा सामाईक विभाजक शोधायचा. त्यामुळे या पध्दतीला ‘विभाजकांची यादी पद्धत’ म्हणता येईल.

२६१० चे विभाजक : १, २, ३, ५, ६, ९, १०, १५, १८, २९, ३०, ४५, ५८, ८७, ९०, १४५, १७४, २६१, २९०, ४३५, ५२२, ८७०, १३०५, २६१० (इतके सर्व विभाजक लिहिण्याची आवश्यकता आहेच असे नाही)
१९८० चे विभाजक : १, २, ३, ४, ५, ६, ९, १०, ११, १२, १५, १८, २०, २२, ३०, ३३, ३६, ४४, ४५, ५५, ६०, ६६, ९०, ९९, ११०, १३२, १६५, १८०, १९८, २२०, ३३०, ३९६, ४९५, ६६०, ९९०, १९८० ( इतके सर्व विभाजक लिहिण्याची आवश्यकता आहेच असे नाही.)

दोन्ही संख्यांच्या विभाजकांची यादी पाहिली तर ९० ही सर्वांत मोठी सामाईक विभाजक संख्या आहे. त्यामुळे विभाजकांच्या यादी करण्याच्या पद्धतीनुसार मसावि (२६१०, १९८०) = ९० येतो.

दोन्ही संख्या मोठ्या असल्याने या पद्धतीत सर्व विभाजक अचूकपणे नोदविता येणे विद्यार्थ्यासाठी कठीण ठरू शकते. तसेच ही पद्धत विद्यार्थ्याचा वेळ खाणारी आणि विशेषतः त्यांच्या धीराची परीक्षा पाहणारी आहे.

यापुढे लघुतम सामाईक / साधारण विभाज्य (लसावि) काढण्याच्या मोजक्याच पद्धती इथे वर्णन केल्या आहेत.

लघुतम सामाईक ( साधारण ) विभाज्य ( लसावि )

बालभारतीच्या सहावीच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांतील ‘लसावि’साठीचे उदाहरण इथे घेतले आहे.

वीणाजवळ काही मणी आहेत. तिला समान मणी असलेल्या माळा तयार करायच्या आहेत. तिने १६, २४ किंवा ४० मण्यांच्या माळा तयार केल्या तर एकही मणी शिल्लक रहात नाही, तर तिच्याजवळ कमीत कमी किती मणी आहेत?

उदाहरणाचे उत्तर देण्यासाठी १६, २४ आणि ४० या तीन संख्यांनी पूर्ण भाग जाईल अशी लहानात लहान संख्या मिळवली पाहिजे, वेगळ्या शब्दांत दिलेल्या तीन संख्यांचा लसावि काढला पाहिजे.

पहिली पद्धत : गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील पद्धत ( पाढ्यांची पद्धत ) :-

या पद्धतीत तीनही संख्यांचे पाढे लिहून काढून तीनही पाढ्यातील लहानात लहान सामाईक संख्या शोधली जाते जी दिलेल्या संख्यांचा लसावि असते.

या पद्धतीने १६, २४ आणि ४० या संख्यांचा लसावि असा काढता येईल. :-

१६ चा पाढा (१६ ने विभाज्य संख्या): १६, ३२, ४८, ६४, ८०, ९६, ११२, १२८, १४४, १६०, १७६, १९२, २०८, २२४, २४०, २५६

२४ चा पाढा (२४ ने विभाज्य संख्या):: २४, ४८, ७२, ९६, १२०, १४४, १६८, १९२, २१६, २४०, २६४, २८८ (इथे आपल्याला १६ आणि २४ यांच्या पाढ्यांमध्ये ४८ ही सर्वांत लहान सामाईक संख्या दिसते. परंतु आपल्याला ४०या आणखी एका संख्येमुळे तिचे पाढे लिहावे लागतील.).

४० चा पाढा (४० ने विभाज्य संख्या): ४०, ८०, १२०, १६०, २००, २४०, … (२४० मिळाल्यावर थांबू शकतो. कारण, १६ आणि २४ च्या पाढ्यांत ही संख्या आहे.)

त्यामुळे २४० ही संख्याच १६, २४ आणि ४० चा लसावि आहे. हे असे मांडतात: लसावि (१६, २४, ४०) = २४०. अर्थांत उदाहरणाचे उत्तर, वीणाजवळ कमीत कमी २४० मणी आहेत.

यापुढे १६, २४ आणि ४० या तीन संख्यांचा फक्त लसावि काढण्यावर भर दिलेला आहे.

दुसरी पद्धत: मूळ अवयव पद्धत

या पद्धतीच्या पहिल्या पायरीत मसावि काढण्यासाठी जसे मूळ अवयव काढले होते, तसे दिलेल्या संख्यांचे मूळ अवयव काढायचे. दुसऱ्या पायरीत मसावि मिळवायचा. तिसऱ्या पायरीत मसावि आणि मसावित नसलेल्या तीनही संख्यांच्या शिल्लक मूळ संख्या, यांचा गुणाकार करायचा. मिळालेली संख्या म्हणजे दिलेल्या संख्यांचा लसावि होय.

या पद्धतीने १६, २४ आणि ४० या संख्यांचा लसावि असा काढता येईल. :-

पहिली पायरी : तीन संख्यांचे मूळ अवयव

१६ = २ × २ × २ × २
२४ = २ × २ × २ × ३
४० = २ × २ × २ × ५

दुसरी पायरी : तीन संख्यांचा मसावि शोधणे.

१६ = २ × २ × २ × २
२४ = २ × २ × २ × ३
४० = २ × २ × २ × ५
त्यामुळे, मसावि (१६, २४, ४०) = २ × २ × २ = ८

तिसरी पायरी : मसावि आणि मसावित नसलेल्या मूळ अवयवांचा गुणाकार.

तीन संख्यांच्या मसावित नसलेले मूळ अवयव आहेत २, ३, ५. या मूळ अवयवांचा आणि ८चा गुणाकार
८ × २ × ३ × ५ = २४० येतो. म्हणजे, लसावि (१६, २४, ४०) = २४०.

इथे आपण नकळत संख्यांच्या मसावि आणि लसाविचे, त्या संख्यांशी असलेले नाते वापरतो. ते असे आहे:
लसावि (अ, ब) = (अ×ब)/(मसावि⁡(अ,ब))   इथे अ, ब या दोन संख्या आहेत.
या सूत्रानुसार जर दिलेल्या दोन संख्यांच्या गुणाकाराला त्या संख्यांच्या मसाविने भागले, तर मिळणारी संख्या ही त्या दोन संख्यांचा लसावि असते. हे सूत्र ‘मसावि लसावि प्रमेय’ म्हणून ओळखले जाते. बालभारतीच्या सातवीच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांत हे सूत्र दिलेले आहे.

परंतु  १६, २४ आणि ४० या तीन संख्यांचा लसावि काढण्यासाठी पुढील सूत्र वापरावे लागेल.:-

लसावि (अ, ब, क) = (अ×ब×क × मसावि⁡(अ,ब,क))/(मसावि⁡(अ,ब)×मसावि⁡(अ,क)×मसावि⁡(ब,क))    (बालभारतीच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकांत हे सूत्र दिलेले नाही.)
पहिल्याने, या सूत्रात वापरावे लागणारे मसावि काढले पाहिजेत.

पहिली पायरी : दोन संख्यांच्या जोड्यांचे तसेच तीनही संख्यांचे मसावि काढणे
या वेळेस मसावि युक्लिडच्या पद्धतीने काढू. दिलेल्या तीन संख्यांपैकी प्रथम १६ आणि २४ या दोन संख्यांची जोडी मसावि काढण्यासाठी निवडली आहे.

१६ ने २४ ला भागले तर बाकी येते ८.

८ ने १६ ला भागले तर बाकी येते ०   यापूर्वीच्या टप्प्यातील बाकी ८ आहे. म्हणजे युक्लिडच्या पद्धतीने, मसावि (१६, २४) = ८ आहे.

आता ८ आणि ४० या दोन संख्यांचा मसावि काढला तर १६, २४, ४० या संख्यांचा मसावि मिळेल. .

८ ने ४० ला भागले तर बाकी येते ० येते  म्हणजे ८ हे उत्तर असून मसावि(८, ४०) = ८.

म्हणजे युक्लिडच्या पद्धतीने, मसावि (१६, २४, ४०) = ८ होय.

सूत्राचा वापर :

इथे मसावि (१६,२४, ४०) = मसावि (१६,२४) = मसावि (१६, ४०) = मसावि (२४, ४०) = ८ आहे (जरा, काढून पहा.).
त्यामुळे, आवश्यक माहिती सूत्रांत घातल्यास उत्तर मिळते.

लसावि ( १६, २४, ४० ) = ( १६×२४×४० × ८ ) / ( ८×८×८ ) =  ( २×३×४० ) / १ = २४०
म्हणजे सूत्र वापरून लसावि (१६, २४, ४०) = २४० येतो.

मसावि आणि लसावि या दोन्ही संकल्पना दैनंदिन व्यवहारातील समस्यांची उत्तरे शोधण्यासाठी उपयुक्त ठरतात. जसे, दुकानात ३५० ग्रॅम  जॅमची बाटली ९६ रुपयांना आहे व त्याच जॅमची ६०० ग्रॅम वजनाची मोठी बाटली १२४ रुपयांना आहे. तर कोणती बाटली खरेदी करणे जास्त फायदेशीर आहे? ( संदर्भ: सातवी बालभारतीच्या गणिताचे पुस्तक.) हे उदाहरण ३५० आणि ६०० यांचा मसावि काढला तर सोप्या आकडेमोडीने अचूकतेने सोडविता येते.

२० मीटर लाब आणि १६ मीटर रुंद असलेल्या कापडाच्या ताग्यातून कपडा अजिबात वाया न घालवता, चौरस आकाराचे कमीत कमी किती टॉवेल्स बनविता येतील? (हे उदाहरण सोडविण्यासाठी २० आणि १६ या दोन संख्यांचा मसावि काढावा लागेल.)

दिव्यांच्या एका तोरणातील पांच रंगांचे दिवे प्रत्येकी २, ४, ६, ८, आणि १० सेकंदाला एकदाच क्षणदीप्त होतात. किती वेळानंतर ते सर्व एकाच वेळेस क्षणदीप्त होतील? ( इथे लसावि काढून उत्तर मिळेल. दिव्यांची रोषणाई अधिक आकर्षक व्हावी म्हणून प्रत्येक रंगांचा दिवा कोणत्या क्रमाने, किती वेळाने, क्षणदीप्त होईल, ते अशा प्रकारे ठरवले जाते.)

भागीदारीमधल्या धंद्यातील नफा भागीदारांत न्याय्य प्रकारे वाटण्यासाठी मसावी तर लॉटरी तिकीटांवरील बक्षिसे निश्चित करण्यासाठी लसावि वापरतात. अपूर्णांकांचे हिशोब सोपे करण्यासाठी तुम्ही स्वतः कितीतरी वेळा लसावि वापरलेला आहेच! उच्च गणितांत मसाविची उपयुक्तता खूप आहे.

प्रकाशचित्राचा संदर्भ:
https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fvedicmathschool.org%2Feuclid%2F&psig=AOvVaw0_GSQKiMo4xYehMT-RPtA4&ust=1637992822746000&source=images&cd=vfe&ved=0CAgQjRxqFwoTCJDIxvSstfQCFQAAAAAdAAAAABAn

***

– ©️ विद्या नारायण वाडदेकर

स्थिरभाष – 2874 6936

ई-मेल : wadadekarvidya@rediffmail.com

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

आजची कविता 

सौ. स्वाती वर्तक 

गंधाळलेला वारा

झुळूक लाडीक येता
मनीं आनंदित होते
तप्त तृषार्त वसुधा..…..१

मेघांमधुनी निसटती
थेंब एक चुकार
पळत नाचत येती
पाठून संतत धार ……..२

चिंब चिंब होऊन डोले
हरित तृणांनी धरती
पराग केशर सांडूनी
मृदगंध झेल उमलती…….३

विसावता तो पर्जन्य
दवबिंदू दिमाखात
पानापाना वरूनी ते
हारतुरे  दिसतात ………४

सृष्टिचा हा खेळ सारा
मन होई हिरवेगार
खंत कुणा हवी कशाला
चित्र सदा पालटणार…….५

ऊन वारा सोसूनही
अवनी हसत देते
घेता दोन्हीही  कराने
झोळी कमीच पडते……..६

@@@

–  ©️  सौ.स्वाती वर्तक
खार(प), मुंबई ४०० ०५२.

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

कॉम्प्रेसर

तंत्रजिज्ञासा : ७

 

दीपक देवधर 

पूर्वीपासून कारखान्यांमध्ये एकाच उर्जास्त्रोतामार्फत अनेक यंत्रे चालवण्याची पद्धत रूढ आहे. तेव्हा ते एकाच मोटरला लावलेल्या दांड्याला अनेक पट्टे,चक्रे किंवा गिअर लावून यांत्रिकी (mechanical) पद्धतीने होत असे. आता बहुतेक ठिकाणी  पट्टे आणि चक्रांची जागा हवेने घेतलेली आहे. शक्ती एकाच ठिकाणी तयार करून उच्च दाब असलेल्या हवेमार्फत ती कारखान्यात सर्वत्र  पोचवली जाते. तिथे काय किंवा पेट्रोल पंपावर असलेले हवा भरणारे यंत्र काय…वातावरणातील सामान्य दाबाच्या हवेला उच्च दाबाखाली साठवून, हवे तेव्हा उपलब्ध करून देण्याचे काम हे “ कॉम्प्रेसर” नावाचे यंत्र करते.

हवेची शक्ती वापरत असल्याचा मुख्य फायदा म्हणजे प्रत्येक मशीनला वेगळी मोटर लावायचे वाचते. विद्युत उर्जेचे गतिज (kinetic) उर्जेत रूपांतर करण्याचे काम मोटर करते ,आणि त्याच ऊर्जेमुळे यंत्रे चालतात. हेच काम “कॉम्प्रेसर” मध्ये एकाच ठिकाणी होते आणि ती उर्जा सर्वत्र उच्च दाबातील हवेमार्फत पोचवून यंत्रे चालवली जातात. यामुळे अर्थातच ही  यंत्रे / उपकरणे छोटी, वजनाला हलकी आणि सोपी तर होतातच पण शिवाय वापरून झिजणारे भागही कमी लागतात.

कसा चालतो हा “कॉम्प्रेसर”?
“कॉम्प्रेसर” चालवण्याची विविध तंत्रे आज वापरात आहेत पण मुख्यत्वेकरून दोन प्रकारे हा “कॉम्प्रेसर” चालतो. १. दट्ट्या (piston) वापरून किंवा २. मळसुत्र(screw) वापरून.

१. दट्ट्या वापरून चालणारा “ कॉम्प्रेसर”—

 

 

 

या प्रकारच्या कॉम्प्रेसरमध्ये विद्युत उर्जेवर चालणाऱ्या मोटरचा दांडा पट्टे आणि चक्रे वापरून कॉम्प्रेसरच्या दांड्याला जोडलेला असतो. हा दांडा केंद्रच्युत(eccentric) असतो म्हणजेच या दांड्याचा काही भाग दांड्याच्या केंद्ररेषेत फिरत नसतो.चित्र क्र. २ आणि ३  मध्ये दाखवल्याप्रमाणे मुख्य दांड्याच्या या केंद्रविस्थापित भागाला दट्ट्याचा दांडा जोडलेला असतो.जसा मुख्य दांडा फिरू लागतो तसा दट्ट्याच्या  दांड्याचे एक टोक दांड्याबरोबर फिरू लागते आणि दट्ट्याला जोडलेले दुसरे टोक खाली वर होऊ लागते. दट्ट्या खाली येत असताना त्याच्या वरच्या भागात दाब विरहित पोकळी (vacuum)तयार होते आणि त्यामुळे बाहेरील हवा एका एकदिशीय झडपेमधून आत खेचली जाते. ही आत खेचलेली हवा, जसा दट्ट्या वर जातोतशी दुसऱ्या एकदिशीय झडपेमधून कॉम्प्रेसरच्या टाकीत ढकलली जाते. (चित्र क्र. ४)जसजशी टाकीत हवा ढकलली जाऊ लागते ,तसतसा टाकीतील हवेचा दाब वाढत जातो. कारण हवा आकुंचनशील आणि प्रसरणशील आहे.

भौतिकशास्त्रामध्ये वायूच्या संदर्भात दाब, आकारमान आणि तापमान यांच्यातील परस्परसंबंध उलगडणारे ४ नियम आहेत. त्यातील पहिला, बॉईलचा नियम म्हणून प्रसिद्ध आहे. बॉईलने १६६२ मध्ये वायूच्या संदर्भात दाब (pressure) आणि आकारमान (volume) यांच्यातील परस्पर संबंध सांगणारा नियम सिद्ध केला. त्यानुसार स्थिर वजनाच्या वायूचे तापमान स्थिर असले  तर त्याचे आकारमान आणि दाब  यांचे एकमेकांशी व्यस्त प्रमाण असते. म्हणजेच तापमान स्थिर ठेवले तर आकारमान  न बदलणाऱ्या टाकीत आपण वायू भरत गेलो तर त्या वायूवरील दाब वाढत जातो.
हे सूत्ररूपाने असे मांडले जाते—PV=K
P=Pressure (दाब), V=Volume(आकारमान) K= constant (स्थिरांक )

टाकीवर, दाब नियंत्रक सुरक्षा झडप(Pressure Safety Valve) बसवलेली असल्याने, टाकीतील हवेचा दाब विशिष्ठ पातळीवर जात नाही आणि त्या पातळीपर्यंत दाब गेला की मोटरला संदेश जातो आणि कॉम्प्रेसर थांबतो.या टाकीतील साठवलेली हवा पुढे हव्या त्या ठिकाणी नळीमार्फत उपलब्ध करून दिली जाते.
कॉम्प्रेसर चालवण्याचे दुसरे तंत्र-मळसूत्र तत्वाचा वापर करून चालणारा कॉम्प्रेसर—

या प्रकारच्या कॉम्प्रेसरमध्ये हवा खेचण्याचे आणि पुढे ढकलण्याचे काम एकात एक अडकवलेले दोन मळसूत्र करतात. हे मळसूत्र असलेल्या केसिंगमध्ये खेचलेली हवा, मळसूत्रावरील दात्यांमध्ये अडकते आणि मळसूत्र फिरत असताना दात्यांबरोबर पुढे ढकलली जाऊ लागते.या मळसूत्रांमधील अंतर कमी कमी होत गेल्याने आत अडकलेल्या हवेवरील दाब वाढत जातो आणि ती वाढीव दाबाने हवेच्या टाकीत ढकलली जाते.

या दोन्ही प्रकारच्या कॉम्प्रेसरमध्ये हवेवरील दाब वाढवणाऱ्या सर्व भागाचे तापमान वाढू नये म्हणून बाहेरून खेळणारी हवा, आतील भागातून फिरवलेले पाणी किंवा तेल यांचा वापर करतात.

या कॉम्प्रेसरचा आपण रोज वापर करतो तो घरातील शीतकपाटा (Refrigerator) त आणि वातानुकूलन (Air conditioner) यंत्रणेमध्ये.

– ©️ दीपक देवधर

dpdeodhar@gmail.com

( लेख व चित्रे : दै. ‘लोकसत्ता‘मधील ‘तंत्रजिज्ञासा’ सदर तसेच याच नावाच्या लाटकर प्रकाशनाने २०१७ मध्ये प्रकाशित केलेल्या पुस्तकावरून साभार पुनःप्रसिद्ध )

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

भवताल

सविता कांबळे 

२०.
पुन्हा आनंदाच्या शोधार्थ … 

मनाला कढ येईपर्यंत इथे मुंबईत Bored व्हायचा.. मग सरळ उठायचं आणि गावला रवाना व्हायचं. दुसर्‍या दिवशी अगदी प्रभात समयी एखाद्या पाणवठ्याजवळ शेताजवळ किंवा माळरानाजवळ जाऊन शांत उभं राहायचं.. गार वाऱ्याला आपल्या सोबत खोडकरपणा करायला परवानगी द्यायची आणि मुंबईतील  फुप्फुस भरून राहिलेली मरगळ तिथे ऊर भरेपर्यंत श्वास घेऊन मुक्त करायची..!

थोड्याच वेळात आपल्याला आनंदित करायची जबाबदारी पानं-फुलं नद्या ओढे शेत- शिवार पाखरं उभी-पीक घेतील. ती वाऱ्यावर डुलताना, पानांचं सळसळताना,ओढ्याचं खळखळताना, पाखरांचं गाताना तीही आनंदी असल्याचेच दिसतील. आपण फक्त त्यांचा हा आनंद कॅमेरात टिपायचा..!

पुन्हा इथे मुंबईत आल्यावर तीच ऊर्जा त्या फोटो मार्फत नजरेसमोर आणायची आणि त्यातील प्रत्येक फोटो काढताना आपण मनातल्या मनात त्या पाखरांशी गवताशी गवतफुलांशी कसं कसं बोलत होतो ते पुन्हा आठवून तिथे प्रत्यक्ष घेतलेला आनंद इथे पाहून पुन्हा हरवून जायचं…!

हे हरवून जाणं दुसरी मरगळ येईपर्यंतची असेल.. मग पुन्हा आनंदाच्या शोधात निघायचं.. तो तसा असतोच आपल्या आजूबाजूला.. फक्त येताना न विसरता त्याला आपली हलकीशी स्माईल देऊन यायची.. धन्यवादाची…!!

– ©️  सविता कांबळे 

savitak211@gmail.com

98199 99562

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

महाराष्ट्राला चिरस्मरणीय अशा काही विभूति

भाग ७ 

 

शतकापूर्वीच्या काही ज्ञात, अज्ञात तसेच विस्मृतीत गेलेल्या विभूतींचा थोडक्यात सचित्र परिचय. मासिक ‘मनोरंजन’च्या दिवाळी अंक १९१० मधून साभार पुनःप्रसिद्ध   

(२१) गोपाळराव हरि देशमुख 

 

[ स. १८२३- १८९२ ] 

कोकणस्थ ब्राह्मण; जन्म पुण्यात १८२३ च्या फेब्रुवारीत; मराठी व इंग्रजी शिक्षण पुण्यास झाले; सन १८४४ त पुण्याच्या जज्ज कचेरीत ७७ रुपये दरमहा इंग्रजी ट्रान्स्लेटरची जागा मिळाली; ज्ञानप्रकाश छापखाना व पुस्तकालय ही यांनीच स्थापन केली; चार वर्षे हे ज्ञानप्रकाशचे संपादक होते; १८४६ त मुन्सफीची परीक्षा पास झाले व १८५२त यांना सातारा जिल्ह्यात मुनसफीची जागा मिळाली; पुढे हे प्रिन्सिपाल सदर अमीन व असिस्टंट इनाम कमिशनर झाले; पुढे अहमदाबादेस असि. जज्ज, मुंबईस स्मॉलकॉज कोर्ट जज्ज, नाशिकास जॉईंट जज्ज याप्रमाणे कामे केल्यावर १८७९ साली यांनी पेन्शन घेतले; यांना ‘रावबहादूर’ची पदवी देऊन सरकाराने यांचा गौरव केला; मुंबई युनिव्हर्सिटीचे फेलो, पहिल्या प्रतीचे सरदार, कायदे कौन्सिलचे सभासद, रतलामचे दिवाण इत्यादी मानाच्या जागा यांना मिळाल्या होत्या; हे मोठे जबर व बाणेदार लेखक होते; अर्वाचीन महाराष्ट्र ग्रंथविश्वामध्ये हे ‘लोकहितवादी’ नावाने प्रसिद्ध आहेत; यांना सार्वजनिक हिताची फार कळकळ असे; ज्ञानप्रसारार्थ यांनी फार परिश्रम केले; १८७८ साली न्या. मू. रानडे यांच्या साहाय्याने यांनी ग्रंथोत्तेजक मंडळी स्थापन केली; मृत्यु आश्विन वद्य ४, शके १८१४.               

 

(२२) आत्माराम पांडुरंग तर्खडकर 

 

[ स. १८२३- १८९८ ] 

 

वैश्य; जन्म २३ डिसेंबर १८२३; हे ग्रॅन्ट मेडिकल कॉलेजातून पास झालेल्या पहिल्या विद्यार्थ्यांपैकी होत; हे परमहंस सभेत व मेरी कार्पेंटरच्या प्रार्थना सभेत होते; नंतर प्रार्थनासमाजात गेले; ह्या समाजासाठी ह्यांनी फार झीज सोसली; ह्या समाजाच्या अगदी आरंभापासून तो आपला अंत होईपर्यंत त्याचे हे अध्यक्ष होते; हे अत्यंत धर्मशील असत; ह्यांना जे. पी.चा व शिवाय शेरिफचाही मोठा मान मिळाला होता; मृत्यु २६ एप्रिल १८९८.       

(२३) केरो लक्ष्मण छत्रे 

[ स. १८२४ – १८८४ ]  

 

कोकणस्थ ब्राह्मण; जन्म कुलाबा जिल्ह्यांत नागांव गांवी १८२४ मे; शिक्षण मुंबईत; एल्फिन्स्टन कॉलेजातून पहिल्याने बाहेर पडलेल्या विद्यार्थी मंडळींपैकी हे एक होते; ह्यांना लहानपणापासून गणित विषयाचा फार नाद असे; विद्याभ्यास पुरा झाल्यावर १८४० साली कुलाब्याच्या दांडीवर ह्यांना ५० रुपये दरमहाची जागा मिळाली; तेथून वाढत वाढत १८६५ साली पुण्याच्या कॉलेजांत हे गणित शास्त्राचे प्रोफेसर झाले; शेवटी शेवटी ह्यांना १००० / १२०० रुपये पगार मिळत होता; १८७७ च्या दिल्ली दरबारांत यांना ‘राव बहादूर’ हा किताब मिळाला; १८७९त यांनी पेन्शन घेतले; हे जबर विद्याव्यासंगी होते; उत्तम गणिती व शिक्षक होते; स्वभाव अगदी साधा, आनंदी व परोपकारी होता; मृत्यु १९ मार्च १८८४.     

 

 [ क्रमशः ]

 

– अज्ञात 

[ ‘मनोरंजन‘ दिवाळी अंक १९१० वरून साभार पुनःप्रसिद्ध ]

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

आठवणीतील संस्कृत सुभाषिते 

 

[ ८८ ]

– ©️ सुभाष भांडारकर

subhashbhandarkar@gmail.com

[ ‘आठवणीतील संस्कृत सुभाषिते’ भाग १ मधून साभार पुनःप्रसिद्ध ]  

@@@@@@@@@@@@@@@

महत्वाची सूचना –  या अंकात प्रसिद्ध होणा-या कथा, कविता, लेख, आदी साहित्याचे हक्क त्या त्या लेखकाच्या स्वाधीन असून सदर साहित्य प्रस्तुत लेखकाच्या वा संपादकांच्या लेखी परवानगीविना व्हॉट्स अ‍ॅप, फेसबुक वा अन्य कुठल्याही माध्यमातून पूर्णत: अगर अंशत: प्रसिद्ध केल्यास कडक कायदेशीर कारवाई करण्यात येईल याची कृपया नोंद घ्यावी.

@@@@@@@@@@@